Question

18．已知A、B為橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點，F(xiàn)為橢圓的右焦點，且AF=3，離心率e=$\frac{1}{2}$，又P是橢圓上異于A、B的任意一點，直線AP、BP分別交直線l：x=m（m＞2）于M、N兩點，l交x軸于C點．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)PF∥l時，求直線AM的方程；
（3）是否存在實數(shù)m，使得以MN為直徑的圓過點F？若存在，求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式和a+c=3，結(jié)合橢圓的a，b，c的關(guān)系，假設(shè)即可得到橢圓方程；
（2）運用兩直線平行的條件，求出P的坐標(biāo)，結(jié)合直線方程的點斜式方程；
（3）設(shè)出點P、M、N的坐標(biāo)，由MF和NF垂直得到M和N點坐標(biāo)的關(guān)系，再由A、P、M和B、P、N分別共線得到M的坐標(biāo)與P的坐標(biāo)及N的坐標(biāo)與P的坐標(biāo)的關(guān)系式，三個關(guān)系式整理后求得m=4，說明存在實數(shù)m，使得以MN為直徑的圓過點F．

解答 解：（1）因為AF=3，離心率$e=\frac{1}{2}$，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{a+c=3}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，可得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=1}\end{array}}\right.$，
∴a²=4，b²=3，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）連結(jié)PF，當(dāng)PF∥l時，
將x=1代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
得y=±$\frac{3}{2}$，則P（1，±$\frac{3}{2}$），
又A（-2，0）且A，P，M三點共線，
∴直線AM的方程為x-2y+2=0或x+2y+2=0；
（3）假設(shè)存在m，設(shè)P（x₀，y₀），M（m，y₁），N（m，y₂）．
由MF垂直于NF可得（m-1）²+y₁y₂=0（*）
又由MPA三點共線可以算得：y₁=$\frac{{y}_{0}（2+m）}{{x}_{0}+2}$①
由NPB三點共線可得y₂=$\frac{{y}_{0}（m-2）}{{x}_{0}-2}$②
將①②兩式帶入*式可得：（m-1）²+$\frac{{{y}_{0}}^{2}（{m}^{2}-4）}{{{x}_{0}}^{2}-4}$．
又因為（x₀，y₀）在橢圓上，得x₀²=4（1-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$），
代入上式化簡得m=4（m＞2）．
∴存在實數(shù)m=4，使得以MN為直徑的圓過點F．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，同時考查直線平行和垂直的性質(zhì)，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．