Question

12．已知a＞0，b＞0若不等式$\frac{m}{3a+b}$-$\frac{3}{a}$-$\frac{1}$≤0，恒成立，則m的最大值為16．

Answer 1

分析 不等式$\frac{m}{3a+b}$-$\frac{3}{a}$-$\frac{1}$≤0恒成立，即為m≤（3a+b）（$\frac{3}{a}$+$\frac{1}$），（a，b＞0），將右邊的式子化簡，再由基本不等式可得最小值，進而得到m的范圍，即有m的最大值．

解答 解：不等式$\frac{m}{3a+b}$-$\frac{3}{a}$-$\frac{1}$≤0恒成立，即為
m≤（3a+b）（$\frac{3}{a}$+$\frac{1}$），（a，b＞0），
由（3a+b）（$\frac{3}{a}$+$\frac{1}$）=10+$\frac{3a}$+$\frac{3b}{a}$≥10+2$\sqrt{\frac{3a}•\frac{3b}{a}}$=16，
當且僅當$\frac{3a}$=$\frac{3b}{a}$，即a=b時，取得等號．
即有m≤16．
則m的最大值為16．
故答案為：16．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．