Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$為奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）試判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明；
（3）對任意的x∈R，不等式f（x）＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）解f（0）=0可得a值；
（2）由單調(diào)性的定義可得；
（3）由（1）（2）可得函數(shù)f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x趨向于正無窮大時，f（x）趨向于1，可得m≥1．

解答 解：（1）由函數(shù)為奇函數(shù)可得f（0）=$\frac{1+a}{2}$=0，解得a=-1；
（2）由（1）可得f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}+1-2}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
可得函數(shù)在R上單調(diào)遞增，下面證明：
任取實數(shù)x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）
=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＜0，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$R上的增函數(shù)；
（3）∵函數(shù)f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x趨向于正無窮大時，f（x）趨向于1，
要使不等式f（x）＜m恒成立，則需m≥1

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及恒成立問題，屬中檔題．