4.已知數(shù)列{an}中,a1=$\frac{1}{2}$,2an+1-an+1an-1=0(n∈N*
(1)求證:數(shù)列{$\frac{1}{1-{a}_{n}}$}是等差數(shù)列;
(2)若Tn=a1a2a3…an,設Sn=T12+T22+…+Tn2,證明:Sn>an+1-$\frac{1}{2}$.

分析 (1)bn=1-an,則an=1-bn,代入到2an+1-an+1an-1=0得到$\frac{1}{_{n+1}}$-$\frac{1}{_{n}}$=1,即可證明{$\frac{1}{_{n}}$}是以2為首項,以1為公差的等差數(shù)列,問題得以證明,
(2)由(1)求出an=$\frac{n}{n+1}$,利用累乘法求出Tn,再用放縮法和裂項求和得到Sn>an+1-$\frac{1}{2}$.

解答 證明:(1)設bn=1-an,則an=1-bn,
∵2an+1-an+1an-1=0,
∴2(1-bn+1)-(1-bn+1)(1-bn)-1=0,
整理得bn-bn+1=bn+1bn,
∴$\frac{1}{_{n+1}}$-$\frac{1}{_{n}}$=1,
∵a1=$\frac{1}{2}$,
∴b1=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{1}{_{1}}$=2,
∴{$\frac{1}{_{n}}$}是以2為首項,以1為公差的等差數(shù)列,
∴{$\frac{1}{1-{a}_{n}}$}是等差數(shù)列,
(2)由(1)得$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=2+n-1=n+1,
∴an=$\frac{n}{n+1}$,
∴Tn=a1a2a3…an=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×…×$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}$
∴Sn=T12+T22+…+Tn2=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{(n+1)^{2}}$>$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=an+1-$\frac{1}{2}$,
∴Sn>an+1-$\frac{1}{2}$.

點評 本題考查了等差數(shù)列和遞推公式,以及累乘法,放縮法和裂項求和,屬于中檔題.

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