Question

17．設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知S₂=3，且a_n+1=S_n+1，n∈N^*，則a₁=1；S_n=2ⁿ-1．

Answer 1

分析 S₂=3，且a_n+1=S_n+1，取n=1，則：a₁+a₂=3，a₂=a₁+1，解得a₁．n≥2時(shí)，a_n=S_n-1+1，相減可得a_n+1=2a_n，再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：∵S₂=3，且a_n+1=S_n+1，取n=1，則：a₁+a₂=3，a₂=a₁+1，解得a₁=1，a₂=2．
n≥2時(shí)，a_n=S_n-1+1，∴a_n+1-a_n=a_n，即a_n+1=2a_n，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2．
∴S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．
故答案為：1，2ⁿ-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．