Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{{4^x}+a}}{{{2^{x+1}}}}$，h（x）=2f（x）-ax-b．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅱ）若f（x）為奇函數(shù)，且h（x）在[-1，1]有零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中函數(shù)f（x）=$\frac{{{4^x}+a}}{{{2^{x+1}}}}$，根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，則對于x∈R有f（-x）=-f（x），f（x）為偶函數(shù)，則對于x∈R有f（-x）=f（x），可得結(jié)論；
（Ⅱ）若f（x）為奇函數(shù)，即a=-1，若h（x）在[-1，1]有零點，即有x∈[-1，1]滿足方程$b={2^x}-{（\frac{1}{2}）^x}+x$，構(gòu)造函數(shù)求出值域，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）若f（x）為奇函數(shù)，則對于x∈R有f（-x）=-f（x）得$\frac{{{4^x}+a}}{{{2^{x+1}}}}=-\frac{{{4^{-x}}+a}}{{{2^{-x+1}}}}$，
化為2^x+1+a•2^-x+1=-2^-x+1-a•2^x+1，所以a=-1．         …．（3分）
若f（x）為偶函數(shù)，則對于x∈R有f（-x）=f（x）得$\frac{{{4^x}+a}}{{{2^{x+1}}}}=\frac{{{4^{-x}}+a}}{{{2^{-x+1}}}}$，
化為2^x+1+a•2^-x+1=2^-x+1+a•2^x+1，所以a=1．       …．（6分）
綜上知，當(dāng)a=-1時，f（x）為奇函數(shù)；
當(dāng)a=1時，f（x）為偶函數(shù)；
當(dāng)a≠±1時，f（x）非奇非偶．  …．（8分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知若f（x）為奇函數(shù)，則a=-1．
此時$h（x）={2^x}-{（\frac{1}{2}）^x}+x-b$在[-1，1]有零點，
即有x∈[-1，1]滿足方程$b={2^x}-{（\frac{1}{2}）^x}+x$． …．（11分）
由于函數(shù)$b={2^x}-{（\frac{1}{2}）^x}+x$在[-1，1]單調(diào)遞增，
在x∈[-1，1]時其值域為$[-\frac{5}{2}，\frac{5}{2}]$，
所以$-\frac{5}{2}≤b≤\frac{5}{2}$，
即實數(shù)b的取值范圍為$[-\frac{5}{2}，\frac{5}{2}]$． …．（15分）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的值域，函數(shù)的零點，根的存在性及根的個數(shù)判斷，難度中檔．