Question

5．△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若sin（$\frac{3}{2}$B+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且a+c=2，則△ABC的周長的取值范圍是[3，4）．

Answer 1

分析 由B和范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出B，由題意和余弦定理化簡后，由基本不等式求出ac的范圍，得到b的范圍，可求△ABC周長的范圍．

解答 解：由0＜B＜π得，$\frac{π}{4}$＜$\frac{3}{2}$B+$\frac{π}{4}$＜$\frac{7π}{4}$，
∵sin（$\frac{3}{2}$B+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{3}{2}$B+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，
解得B=$\frac{π}{3}$，
又∵a+c=2，
∴由余弦定理可得，b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-ac=4-3ac，
∵a+c=2，a+c≥2$\sqrt{ac}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號，
∴0＜ac≤1，則-3≤-3ac＜0，
則1≤b²＜4，即1≤b＜2．
∴△ABC周長L=a+b+c=b+2∈[3，4）．
故答案為：[3，4）．

點評 本題考查了余弦定理，內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值，以及基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．