Question

16．已知函數(shù)f（x）=xlnx
（1）若直線l過點（1，0），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程；
（2）設函數(shù)g（x）=f（x）-a（x-1）在[1，e]上有且只有一個零點，求a的取值范圍．（其中a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義以及直線和切線相切的條件即可求直線l的方程；
（2）將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e]上沒有零點，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設切點坐標為（x₀，y₀），則y₀=x₀lnx₀，切線的斜率為lnx₀+1，
所以切線l的方程為y-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（x-x₀），
又切線l過點（1，0），所以有-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（1-x₀），
即lnx₀=x₀-1，解得x₀=1，y₀=0．
所以直線l的方程為y=x-1．
（2）因為g（x）=xlnx-a（x-1），注意到g（1）=0
所以，所求問題等價于函數(shù)g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e]上沒有零點．
因為g′（x）=lnx+1-a
所以由g′（x）＜0?lnx+1-a＜0?0＜x＜e^a-1，
g′（x）＞0?x＞e^a-1
所以g（x）在（0，e^a-1）上單調(diào)遞減，在（e^a-1，+∞）上單調(diào)遞增．
①當e^a-1≤1，即a≤1時，g（x）在（1，e]上單調(diào)遞增，所以g（x）＞g（1）=0
此時函數(shù)g（x）在（1，e]上沒有零點，
②當1＜e^a-1＜e，即1＜a＜2時，g（x）在[1，e^a-1）上單調(diào)遞減，在（e^a-1，e]上單調(diào)遞增．
又因為g（1）=0，g（e）=e-ae+a，g（x）在（1，e]上的最小值為g（e^a-1）=a-e^a-1
所以，（i）當1＜a≤$\frac{e}{e-1}$時，g（x）在[1，e]上的最大值g（e）≥0，
即此時函數(shù)g（x）在（1，e]上有零點．
（ii）當$\frac{e}{e-1}$＜a＜2時，g（e）＜0，即此時函數(shù)g（x）在（1，e]上沒有零點．
③當e≤e^a-1 即a≥2時，g（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
所以g（x）在[1，e]上滿足g（x）＜g（1）=0，
此時函數(shù)g（x）在（1，e]上沒有零點
綜上，所求的a的取值范圍是a≤1或$\frac{e}{e-1}$＜a．

點評 本題主要考查導數(shù)的綜合應用，利用導數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．