Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥CD，∠BCD=90°．
（1）求證：BC⊥平面PDC；
（2）求點A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）證明PD⊥BC，BC⊥CD，利用直線與平面垂直的判定定理證明BC⊥平面PDC．
（2）解：連結(jié)AC，設(shè)點A到平面PBC的距離為h．通過V_A-PBC=V_P-ABC，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 （1）證明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC…（2分）
又∵∠BCD=90°，∴BC⊥CD…（3分）
而  PD∩DC=D，PD?平面PDC，CD?平面PDC…（4分）
∴BC⊥平面PDC．…（6分）
（2）解：連結(jié)AC，設(shè)點A到平面PBC的距離為h．
由（1）有BC⊥平面PDC，
∴BC⊥PC…（7分）
在Rt△PDC中，有PD=DC=1∴$PC=\sqrt{2}$…（8分）
由V_A-PBC=V_P-ABC，
有$\frac{1}{3}×{S_{△PBC}}•h=\frac{1}{3}×{S_{△ABC}}×PD$…（9分）
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PC×BC•h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×BC×PD$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1$∴$h=\sqrt{2}$…（11分）
故所求距離為$\sqrt{2}$．…（（12分））

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力計算能力．