Question

已知數列{a_n}中，a₁=8，且（2n+1）a_n+1=（6n+9）a_n-16n²-32n-12．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求{a_n}的通項公式；
（3）求數列{a_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的通項公式

專題：計算題,壓軸題,等差數列與等比數列

分析：（1）將a₁=8代入（2n+1）a_n+1=（6n+9）a_n-16n²-32n-12，求出a₂；再依次求出a₃，a₄；
（2）化簡（2n+1）a_n+1=（6n+9）a_n-16n²-32n-12為

an+1

2(n+1)+1

-2=3（

an

2n+1

-2），則{

an

2n+1

-2}是以

2

3

為首項，3為公比的等比數列，從而求{a_n}的通項公式；
（3）令b_n=（2n+1）•3^（n-2），先求其前n項和，再求數列{a_n}的前n項和．

解答： 解：（1）∵a₁=8，代入（2n+1）a_n+1=（6n+9）a_n-16n²-32n-12，
得3a₂=（6+9）×8-16-32-12=60，
∴a₂=20，
同理，a₃=56，a₄=180；
（2）∵（2n+1）a_n+1=（6n+9）a_n-16n²-32n-12．
∴

an+1

6n+9

=

an

2n+1

-

16n2+32n+12

(2n+1)(6n+9)

，
即

an+1

2(n+1)+1

=3

an

2n+1

-4，
即

an+1

2(n+1)+1

-2=3（

an

2n+1

-2），
又∵

a1

3

-2=

8

3

-2≠0，
∴{

an

2n+1

-2}是以

2

3

為首項，3為公比的等比數列，
則

an

2n+1

-2=

2

3

×3^（n-1）=2•3^（n-2），
∴a_n=（2n+1）（2+2•3^（n-2））．
（3）∵a_n=（2n+1）（2+2•3^（n-2））=2（2n+1）•3^（n-2）+2（2n+1）；
令b_n=（2n+1）•3^（n-2），
則S_n=3•3^-1+5•3⁰+7•3¹+…+（2n+1）•3^（n-2）①，
3S_n=3•3⁰+5•3¹+7•3²+…+（2n+1）•3^（n-1）②，
②-①得，
2S_n=-1-2（3⁰+3¹+3²+…+3^（n-2））+（2n+1）•3^（n-1）
=（2n+1）•3^（n-1）-1-3^（n-1）+1
=2n•3^（n-1），
則S_n=n•3^（n-1），
則設數列{a_n}的前n項和為T_n，
則T_n=2n•3^（n-1）+2

3+2n+1

2

n
=2n•3^（n-1）+2n（n+2）
=2n（3^（n-1）+n+2）．

點評：本題考查了遞推法求數列中有限項的方法，第2問中的表達式化簡很難，是本題的難點，第3問要想到將問題分化，從而簡化運算，屬于難題．