Question

12．如圖，⊙O是等腰梯形ABCD的內(nèi)切圓，M是切點(diǎn)，AM、BM分別與⊙O交于點(diǎn)P、T，則$\frac{AM}{AP}$+$\frac{BM}{BT}$的值等于10．

Answer 1

分析 設(shè)AB，BC，CD，DA與圓的切點(diǎn)分別為K，L，M，N，則$\frac{AM}{AP}$=$\frac{A{M}^{2}}{A{N}^{2}}$，同理$\frac{BM}{BT}$=$\frac{B{M}^{2}}{B{L}^{2}}$，再利用余弦定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)AB，BC，CD，DA與圓的切點(diǎn)分別為K，L，M，N，則
∵AN是AP，AM的等比中項(xiàng)，
∴$\frac{AM}{AP}$=$\frac{A{M}^{2}}{A{N}^{2}}$，
同理$\frac{BM}{BT}$=$\frac{B{M}^{2}}{B{L}^{2}}$，
設(shè)KA=AN=ND=DM=a，KB=BL=LC=CM=b，∠D=α，∠C=π-α，則
AM²=a²+4a²-2a•2a•cosα，BM²=b²+4b²-2b•2b•cos（π-α），
∴$\frac{AM}{AP}$=$\frac{A{M}^{2}}{A{N}^{2}}$=5-4cosα，$\frac{BM}{BT}$=$\frac{B{M}^{2}}{B{L}^{2}}$=5+4cosα，
∴$\frac{AM}{AP}$+$\frac{BM}{BT}$=10．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查與圓有關(guān)的比例線段，考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．