Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=1，nS_n+1-（n+1）S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，n∈N^*
（1）求a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，nS_n+1-（n+1）S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，n∈N^*，令n=1，解出即可．
（2）由nS_n+1-（n+1）S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，n∈N^*，變形為：$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}-\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$，利用等差數(shù)列的通項公式可得$\frac{{S}_{n}}{n}$，再利用S_n與a_n的關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）由a₁=1，nS_n+1-（n+1）S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，n∈N^*，令n=1，則S₂-2S₁=1，
∴a₂+1-2=1，解得a₂=2．
（2）由nS_n+1-（n+1）S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，n∈N^*，變形為：$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}-\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列$\{\frac{{S}_{n}}{n}\}$是等差數(shù)列，首項為1，公差為$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+$\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n+1}{2}$，
∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴當(dāng)n≥2時，S_n-1=$\frac{n（n-1）}{2}$，
a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{n（n-1）}{2}$=n，
∴a_n=n．

點評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．