Question

3．已知函數(shù)f（x）=a（x-1）-lnx（a∈R），g（x）=e^x-x-1．
（1）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意x∈[1，+∞），存在x₀∈R，使得f（x）≥g（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出g'（x）=e^x-1，通過g'（x）＞0，g'（x），求解可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）依題意可對任意x∈[1，+∞），f（x）≥g（x）_min，求出g（x）_min=g（0）=0，故對任意x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過a分類討論，轉(zhuǎn)化不等式求解a的取值范圍．

解答 （普通中學(xué)做）解：（1）∵g'（x）=e^x-1．…（2分）
∴g'（x）＞0?x＞0，g'（x）＜0?x＜0．…（4分）
故函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…（5分）
（2）依題意可對任意x∈[1，+∞），f（x）≥g（x）_min，
由（1）得g（x）_min=g（0）=0，故對任意x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立．…（6分）$f'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$，當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）≤f（1）=0，不合題意．…（8分）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，$f'（x）＜0?1＜x＜\frac{1}{a}$，$f'（x）＞0?x＞\frac{1}{a}$，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{1，\frac{1}{a}}）$上單調(diào)遞減，在$（{\frac{1}{a}，+∞}]$上單調(diào)遞增，
當(dāng)$1≤x＜\frac{1}{a}$時(shí)，f（x）≤f（1）=0，不符合題意．…（10分）
當(dāng)a≥1時(shí)，f'（x）≥0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上增，
∴f（x）≥f（1）=0，符合題意．
∴a的取值范圍[1，+∞）．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．