Question

19．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P為橢圓C上的任意一點(diǎn)，若以F₁，F(xiàn)₂，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形一定不可能為等腰鈍角三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（0，$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 由點(diǎn)P為橢圓C與y軸的交點(diǎn)，以F₁，F(xiàn)₂，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形一定不可能為鈍角三角形，討論，可得∠F₁PF₂≤90°或∠PF₁F₂≤90°，由此可建立a，c的關(guān)系，即可求出橢圓C的離心率的取值范圍．

解答 解：∵點(diǎn)P為橢圓C上的任意一點(diǎn)，以F₁，F(xiàn)₂，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形
一定不可能為鈍角三角形，分兩種情況：
1）若∠F₁PF₂為頂角，則∠F₁PF₂≤90°，
∴tan∠OPF₂≤1，
∴$\frac{c}$≤1，∴c≤b，
∴c²≤a²-c²，即2c²≤a²，
∴e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
2）若∠PF₁F₂為頂角，則∠PF₁F₂≤90°，
此時(shí)|PF₁|=|F₁F₂|=2c，
用極限方法，當(dāng)P接近左端點(diǎn)的時(shí)候，
只要F₁，F(xiàn)₂，P不能組成鈍角等腰三角形，即可滿足題意：
因此a-c≥2c；
所以e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{1}{3}$；
故答案為：（0，$\frac{1}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓C的離心率的取值范圍，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定a，c的關(guān)系是關(guān)鍵．