Question

9．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$和橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1的離心率相同，且點(diǎn)（$\sqrt{2}$，1）在橢圓C₁上．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)P為橢圓C₂上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線交橢圓C₁于A、C兩點(diǎn)，且P恰為弦AC的中點(diǎn)．試判斷△AOC的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）討論直線的斜率是否存在，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，由三角形的面積公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求定值．

解答 解：（1）由題意可得，$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1且$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-b²=c²，
即a²=4，b²=2，
橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；    
（2）當(dāng)直線AC的斜率不存在時(shí)，
必有P（±$\sqrt{2}$，0），此時(shí)|AC|=2，S_△AOC=$\sqrt{2}$；
當(dāng)直線AC的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k、點(diǎn)P（x₀，y₀），
則AC：y-y₀=k（x-x₀），
與橢圓C₁聯(lián)立，得（1+2k²）x²+4k（y₀-kx₀）x+2（y₀-kx₀）²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2k（{y}_{0}-k{x}_{0}）}{1+2{k}^{2}}$，
即x₀=-2ky₀，又x₀²+2y₀²=2，y₀²=$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$，
S_△AOC=$\frac{1}{2}$•$\frac{|{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{16{k}^{2}（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}-4（1+2{k}^{2}）[2（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}-4]}}{1+2{k}^{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\frac{|{y}_{0}-k{x}_{0}|\sqrt{2（1+2{k}^{2}）-（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}}}{1+2{k}^{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\frac{（1+2{k}^{2}）|{y}_{0}|\sqrt{2（1+2{k}^{2}）-（1+2{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$
=$\sqrt{2}$|y0|•$\sqrt{1+2{k}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
綜上，無(wú)論P(yáng)怎樣變化，△AOC的面積為常數(shù)$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查三角形的面積的求法，注意討論直線的斜率是否存在，聯(lián)立直線和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．