Question

7．若函數(shù)f（x）=-2x³+2tx²+1存在唯一的零點，則實數(shù)t的取值范圍為t＞-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 求解導(dǎo)數(shù)f′（x）=-6x²+4tx，分類討論得出極值點，
根據(jù)單調(diào)性判斷極值的大小，即可得出零點的個數(shù)．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=-2x³+2tx²+1，
∴f′（x）=-6x²+4tx=0，
∴x=0，x=$\frac{2t}{3}$
（1）當(dāng)t=0時，f（x=-2x³+1單調(diào)遞減，
f（0）=1＞0，f（2）=-15＜0
∴存在唯一的零點，是正數(shù)．
（2）當(dāng)t＞0時，
f′（x）=-6x²+4tx＞0，即0$＜x＜\frac{2t}{3}$
f′（x）=-6x²+4tx＜0，即x＜0，x$＞\frac{2t}{3}$
∴f（x）在（-∞，0），（$\frac{2t}{3}$，+∞）單調(diào)遞減
在（0，$\frac{2t}{3}$）單調(diào)遞增
∴極大值f（$\frac{2t}{3}$）＞f（1），極小值f（0）=1＞0，
∴存在唯一的零點，
（3）當(dāng)t＜0時，
f′（x）=-6x²+4tx＞0，即$\frac{2t}{3}$＜x＜0
f′（x）=-6x²+4tx＜0，即x＜$\frac{2t}{3}$，x＞0
∴f（x）在（-∞，$\frac{2t}{3}$），（0，+∞）單調(diào)遞減
在（$\frac{2t}{3}$，0）單調(diào)遞增
∴極小值f（$\frac{2t}{3}$）＜f（1），極大值f（0）=1＞0，
∵只需極小值f（$\frac{2t}{3}$）＞0即可，
$\frac{8{t}^{3}}{27}$+1＞0，且t＜0
∴-$\frac{3}{2}$＜t＜0，
綜上：-$\frac{3}{2}$＜t＜0，或t≥0
故答案為：t＞-$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、函數(shù)的零點，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．