Question

5．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐方程為ρcosθ+ρsinθ=4．
（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；
（2）求曲線C上的點到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)參數(shù)方程、極坐標方程與直角坐標方程的對應(yīng)關(guān)系得出答案；
（2）根據(jù)距離公式得出距離d關(guān)于α的表達式，利用三角恒等變換得出距離的最大值．

解答 解：（1）曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
直線l的直角坐標方程為x+y-4=0．
（2）設(shè)曲線C上的點坐標為P（2cosα，sinα），
則P到直線l的距離d=$\frac{|2cosα+sinα-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{5}sin（α+φ）-4|}{\sqrt{2}}$，
∴當sin（α+φ）=-1時，d取得最大值$\frac{\sqrt{5}+4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
∴曲線C上的點到直線l的距離的最大值為2$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．