Question

20．用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[3]=3，[1.2]=1，[-1.3]=-2．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n²+a_n，則[$\frac{1}{{{a_1}+1}}+\frac{1}{{{a_2}+1}}+…+\frac{1}{{{a_{2016}}+1}}$]=0．

Answer 1

分析 由已知結(jié)合數(shù)列遞推式可得數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，且a_n＞0，進(jìn)一步得到$\frac{1}{{a}_{n}+1}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$，可得$\frac{1}{{{a_1}+1}}+\frac{1}{{{a_2}+1}}+…+\frac{1}{{{a_{2016}}+1}}$＜1，結(jié)合已知定義得答案．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=a_n²+a_n＞0，
∴數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，且a_n＞0，
則由a_n+1=a_n²+a_n，得$\frac{1}{{a}_{n}+1}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{{a_1}+1}}+\frac{1}{{{a_2}+1}}+…+\frac{1}{{{a_{2016}}+1}}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}+…+$$\frac{1}{{a}_{2016}}-\frac{1}{{a}_{2017}}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2017}}＜\frac{1}{{a}_{1}}=1$，
又$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}+…+\frac{1}{{a}_{2016}+1}＞0$，
∴[$\frac{1}{{{a_1}+1}}+\frac{1}{{{a_2}+1}}+…+\frac{1}{{{a_{2016}}+1}}$]=0．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，關(guān)鍵是由數(shù)列遞推式得到$\frac{1}{{a}_{n}+1}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$，是中檔題．