Question

【題目】已知函數(shù)，()．

（1）若函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若在上不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：對(duì)于時(shí)，任意，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析.

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解；（2）先將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)工具分析求解；（3）先構(gòu)造函數(shù)，再依據(jù)題設(shè)與問(wèn)題（2）的結(jié)論進(jìn)行分析推證。

（1）設(shè)函數(shù)

，

①時(shí)，為單調(diào)減函數(shù)，不成立

②時(shí)，，；，

所以函數(shù)有唯一的極小值，需要，

又因?yàn)?/span>，，

所以在有兩個(gè)零點(diǎn)，，有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以

（2）設(shè)函數(shù)，且

①當(dāng)時(shí)，有，不成立，

②當(dāng)時(shí)，（i）時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

所以在上是單調(diào)增函數(shù)，所以

（ii）時(shí)，設(shè)，

所以存在，使得時(shí)

，∴，不成立

綜上所述

（3）不等式變形為

設(shè)函數(shù)，由第（2）問(wèn)可知當(dāng)時(shí)函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，所以原不等式成立．