Question

18．設(shè)曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x_n，則log₂₀₁₂x₁+log₂₀₁₂x₂+…+log₂₀₁₂x₂₀₁₂的值為（　�。�

• A． -log₂₀₁₂2011
• B． -1
• C． -1+log₂₀₁₂2011
• D． 1

Answer 1

分析 由題意可得f′（x）=（n+1）xⁿ，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線的斜率k，進(jìn)而可求切線方程，在方程中，令y=0可得，x_n=$\frac{n}{n+1}$，利用累乘可求x₁x₂…x₂₀₁₁=$\frac{1}{2}•\frac{2}{3}•…•\frac{2011}{2012}$=$\frac{1}{2012}$，代入可求出答案．

解答 解：對(duì)函數(shù)f（x）=xⁿ⁺¹求導(dǎo)可得，f′（x）=（n+1）xⁿ ，
∴y=f（x）在點(diǎn)P處的切線斜率K=f′（1）=n+1，
切線方程為y-1=（n+1）（x-1）．
令y=0可得，x_n=$\frac{n}{n+1}$，
∴x₁x₂…x₂₀₁₁=$\frac{1}{2}•\frac{2}{3}•…•\frac{2011}{2012}$=$\frac{1}{2012}$
∴l(xiāng)og₂₀₁₂x₁+log₂₀₁₂x₂+…+log₂₀₁₂x₂₀₁₁=log₂₀₁₂（x₁x₂…x_n）
=log₂₀₁₂$\frac{1}{2012}$=-1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，累乘及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用，還考查了基本運(yùn)算的能力，是中檔題．