Question

3．A、B兩島相距100海里，B在A北偏東30°方向，甲船A以50海里/小時的速度向B航行，同時，乙船從B以30誨里/小時的速度沿南偏東30°方向航行，則$1\frac{16}{49}$小時后兩船之間距離最小．

Answer 1

分析 設(shè)x小時后甲船到達(dá)C點，乙船到達(dá)D點，則BC=100-50x，BD=30x，由已知可得∠CBD=60°．由余弦定理得CD²=BC²+BD²-2BC•BD•cos∠CBD，即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖，設(shè)x小時后甲船到達(dá)C點，乙船到達(dá)D點，
則BC=100-50x，BD=30x，由已知可得∠CBD=60°．
由余弦定理得CD²=BC²+BD²-2BC•BD•cos∠CBD，
即CD²=（100-50x）²+（30x）²-2（100-50x）•30x•cos60°
=100（49x²-130x+100），
當(dāng)x=$\frac{130}{2×49}$=$\frac{65}{49}$時CD²最小，即CD最小
所以航行$1\frac{16}{49}$小時兩船之間距離最短，
故答案為：$1\frac{16}{49}$．

點評 本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查余弦定理的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運用余弦定理是關(guān)鍵，屬于中檔題．