Question

11．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值是12，則4a²+9b²的最小值為（　�。�

• A． 8
• B． 18
• C． 36
• D． 48

Answer 1

分析 首先由約束條件畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值是12，確定a，b之間的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定函數(shù)的最小值

解答 解：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=ax+by（a＞0，b＞0），
得y=$-\frac{a}x+\frac{z}$，
平移直線y=$-\frac{a}$x，由圖象可知當(dāng)直線y=-$\frac{a}$經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y$-\frac{a}$的截距最大，此時(shí)確定最大值12，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，得A（4，6），代入目標(biāo)函數(shù)得到4a+6b=12，即a=3-1.5b，
所以4a²+9b²=4（3-1.5b）²+9b²=18b²-36b+36=18（b-1）²+18≥18，
所以4a²+9b²的最小值為18．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，確定a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．