Question

10．已知$f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，g（x）=\frac{lnx}{x}$，其中e是自然常數(shù)，a∈R
（Ⅰ）討論a=1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)性、極值；
 （Ⅱ）求證：在（Ⅰ）的條件下，f（x）＞g（x）+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和單調(diào)性．
（2）利用（1）的結(jié)論，求函數(shù)f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它們之間的關(guān)系證明不等式．

解答 解：（1）a=1時(shí)，因?yàn)閒（x）=x-lnx，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)1＜x≤e時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）的極小值為f（1）=1．
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的極小值為1，即函數(shù)f（x）在（0，e]上的最小值為1．
又g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，所以當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)g（x）單調(diào)遞增．
所以g（x）的最大值為g（e）=$\frac{1}{e}$，
所以f（x）_min-g（x）_max＞$\frac{1}{2}$，
所以在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查函數(shù)的極值問(wèn)題，本題屬于中檔題．．