Question

20．設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+y≥3\\ x-y≥-1\\ 2x-y≤3\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值為8，則a+b的最小值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)先求出a，b的關(guān)系，然后利用基本不等式求a+b的最小值．

解答 解：由z=abx+y（a＞0，b＞0）得y=-abx+z，
作出可行域如圖：
∵a＞0，b＞0，
∴直線y=-abx+z的斜率為負(fù)，且截距最大時(shí)，z也最大．
平移直線y=-abx+z，由圖象可知當(dāng)y=-abx+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，
直線的截距最大，此時(shí)z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{2x-y=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$，即A（4，5）．
此時(shí)z=4ab+5=8，
即ab=$\frac{3}{4}$，
則a+b$≥2\sqrt{ab}$=2$\sqrt{\frac{3}{4}}$=$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)取=號(hào)，
故最小值為$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．