Question

19．設函數(shù)f（x）=ax³-x²+5x，a∈R．
（1）當0＜a≤$\frac{1}{15}$時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）設φ（x）=（$\frac{1}{3}-a$）x³+2x²-（2a+5）x，并且函數(shù)g（x）=f（x）+φ（x）在[-5，-3]上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）若a≠0，且f（x）在區(qū)間（5，+∞）的一個子區(qū)間上為減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導數(shù)，結合a的范圍，求出f′（x）有根，求出方程f′（x）=0的根，從而求出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）先求出g（x）的表達式，求出g（x）的導數(shù)，問題轉化為2a+1≤（x+1）²在x∈[-5，-3]上恒成立，進而求出a的范圍即可；
（3）問題轉化為存在x∈（5，+∞）使得f′（x）=3ax²-2x+5＜0成立，通過討論a的范圍，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²-2x+5，
∵0＜a≤$\frac{1}{15}$，
∴△=4-60a=4（1-15a）≥0，
∴令f′（x）=0，解得：x=$\frac{2±2\sqrt{1-15a}}{6a}$=$\frac{1±\sqrt{1-15a}}{3a}$，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，$\frac{1-\sqrt{1-15a}}{3a}$）和（$\frac{1+\sqrt{1-15a}}{3a}$）遞增，在（$\frac{1-\sqrt{1-15a}}{3a}$，$\frac{1+\sqrt{1-15a}}{3a}$）遞減；
（2）設φ（x）=（$\frac{1}{3}-a$）x³+2x²-（2a+5）x，
則函數(shù)g（x）=f（x）+φ（x）=ax³-x²+5x+（$\frac{1}{3}-a$）x³+2x²-（2a+5）x=$\frac{1}{3}$x³+x²-2ax，
g′（x）=x²+2x-2a，若g（x）在[-5，-3]上是增函數(shù)，
則g′（x）=（x+1）²-2a-1≥0在x∈[-5，-3]上恒成立，
即2a+1≤（x+1）²在x∈[-5，-3]上恒成立，
而（x+1）²在[-5，-3]上的最小值是4，
∴只需2a+1≤4即可，解得：a≤$\frac{3}{2}$，
故a的范圍是（-∞，$\frac{3}{2}$]；
（3）若a≠0，且f（x）在區(qū)間（5，+∞）的一個子區(qū)間上為減函數(shù)，
則存在x∈（5，+∞）使得f′（x）=3ax²-2x+5＜0成立，
∴a＜0時，顯然成立，
當a＞0時：只需△=4-60a＞0，即可，解得：0＜a＜$\frac{1}{15}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性問題，考查導數(shù)的應用，不等式恒成立問題，熟練掌握導數(shù)的應用以及二次函數(shù)的性質是解題的關鍵，本題是一道中檔題．