Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{mx}{lnx}$，曲線y=f（x）在點(diǎn)（e²，f（e²））處的切線與直線2x+y=0垂直（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求f（x）的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）是否存在常數(shù)k，使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，f（x）＞$\frac{k}{lnx}$+2$\sqrt{x}$恒成立，若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （I）令f′（e²）=$\frac{1}{2}$解出m，得出f（x）的解析式，令f′（x）＜0解出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（II）分離參數(shù)得出k＞2x-2$\sqrt{x}$lnx（0＜x＜1）或k＜2x-2$\sqrt{x}$lnx（x＞1），分情況討論求出右側(cè)函數(shù)的最大值或最小值，從而得出k的范圍．

解答 解：（Ⅰ） $f'（x）=\frac{m（lnx-1）}{{{{（lnx）}^2}}}$，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（e²，f（e²））處的切線與直線2x+y=0垂直，
∴f′（e²）=$\frac{m}{4}$=$\frac{1}{2}$，
解得m=2，∴$f（x）=\frac{2x}{lnx}$，
∴$f'（x）=\frac{2（lnx-1）}{{{{（lnx）}^2}}}$，令f'（x）＜0解得：0＜x＜1或1＜x＜e，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1）和（1，e）．    
（Ⅱ）∵$f（x）＞\frac{k}{lnx}+2\sqrt{x}$恒成立，即$\frac{2x}{lnx}＞\frac{k}{lnx}+2\sqrt{x}?\frac{k}{lnx}＜\frac{2x}{lnx}-2\sqrt{x}$，
①當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，lnx＜0，則$k＞2x-2\sqrt{x}•lnx$恒成立，
令$g（x）=2x-2\sqrt{x}•lnx$，則g′（x）=$\frac{2\sqrt{x}-lnx-2}{\sqrt{x}}$，
再令$h（x）=2\sqrt{x}-lnx-2$，則h′（x）=$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$＜0，所以h（x）在（0，1）內(nèi)遞減，
所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）＞h（1）=0，故$g'（x）=\frac{h（x）}{{\sqrt{x}}}＞0$，
所以g（x）在（0，1）內(nèi)遞增，g（x）＜g（1）=2
∴k≥2．
②當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，lnx＞0，則$k＜2x-2\sqrt{x}•lnx$恒成立，
由①可知，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，所以h（x）在（1，+∞）內(nèi)遞增，
所以當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＞h（1）=0，故$g'（x）=\frac{h（x）}{{\sqrt{x}}}＞0$，
所以g（x）在（1，+∞）內(nèi)遞增，g（x）＞g（1）=2⇒k≤2；                            
綜合①②可得：k=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．