Question

10．在平行四邊形ABCD中，$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}$=$\overrightarrow{AC}$，$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{1}{2}$，E為CD的中點，若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BE}$=3，則|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}$=$\overrightarrow{AC}$，可得平行四邊形ABCD是菱形．由于$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{1}{2}$，可得$A=\frac{π}{3}$．由于E為CD的中點，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BE}$=3，利用數(shù)量積運算性質(zhì)、三角形法則即可得出．

解答 解：∵$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}$=$\overrightarrow{AC}$，
∴AC平分∠BAD，
因此平行四邊形ABCD是菱形．
∵$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π）．
∴$A=\frac{π}{3}$．
∵E為CD的中點，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BE}$=3，
∴3=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BE}$=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）$•$（\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$-$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$，
設(shè)|$\overrightarrow{AB}$|=x，
則3=$\frac{1}{2}{x}^{2}cos\frac{π}{3}$+x²-$\frac{1}{2}{x}^{2}$，
化為x²=12，
解得x=2$\sqrt{3}$．
則|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了向量數(shù)量積運算性質(zhì)、向量的平行四邊形法則、菱形定義、向量三角形法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．