Question

1．已知f（x）=1-xlnx，g（x）=-x²+2ax（a＞0）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若對任意的x₂∈[0，1]，均存在x₁∈[0，+∞），使得f（x₁）＞g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間
（2）有題意知，只需使f（x）的最大值大于g（x）的區(qū)間最大值即可．

解答 （1）f′（x）=-（lnx+1），
令f′（x）＞0得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{e}$）；
令f′（x）＜0得：x＞$\frac{1}{e}$，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（ $\frac{1}{e}$，+∞）．
（2）g（x）=-x（x-2a），
當(dāng)a≤1時，g（x）_max=g（a）=a²；
由（1）知f（x）_max=f（$\frac{1}{e}$）=1+$\frac{1}{e}$，
∴1+$\frac{1}{e}$＞a²顯然成立，
當(dāng)a＞1時，g（x）_max=g（1）=-1+2a；
1+$\frac{1}{e}$＞-1+2a，
得a＜$\frac{2e+1}{2e}$，
故a的范圍為0＜a＜$\frac{2e+1}{2e}$．

點評 考查導(dǎo)函數(shù)利用，對存在性的理解．