Question

20．已知△ABC的三邊長分別為5，6，7，點O是△ABC三個角分線的交點，若BC=7，則△OBC的面積為$\frac{7\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意和余弦定理求出cosC的值，由平方關(guān)系和內(nèi)角的范圍求出sinC的值，代入三角形面積公式求出△ABC的面積，根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)、面積相等點O到BC的距離，再求出△OBC的面積．

解答 解：由題意得，△ABC的三邊長分別為5，6，7，且BC=7，
不妨設(shè)AB=5，AC=6，
由余弦定理得，cosC=$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2AC•BC}$=$\frac{36+49-25}{2×6×7}$=$\frac{5}{7}$，
又0＜C＜π，則sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{6}}{7}$，
所以△ABC的面積S=$\frac{1}{2}×BC×AC×sinC$=$\frac{1}{2}×7×6×\frac{2\sqrt{6}}{7}$=$6\sqrt{6}$，
因為點O是△ABC三個角分線的交點，所以點O到各個邊的距離相等，
設(shè)點O到各個邊的距離是h，
則△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$（5+6+7）h=$6\sqrt{6}$，解得h=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
所以△OBC的面積S=$\frac{1}{2}×BC×h$=$\frac{1}{2}×$7×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{7\sqrt{6}}{3}$
故答案為：$\frac{7\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查余弦定理，三角函數(shù)的平方關(guān)系，三角形的面積公式，三角形角平分線的性質(zhì)，以及等積法的應(yīng)用，屬于中檔題．