Question

13．對(duì)于在給定區(qū)間Q上都有意義的兩個(gè)函數(shù)f（x）與g（x），如果對(duì)任意的x∈Q，均有|f（x）-g（x）|≤λ，則稱函數(shù)f（x）與g（x）在Q上是λ相近的．現(xiàn)有如下命題：
（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinx與g（x）=cosx在（0，π]上是1相近的；
（2）函數(shù)f（x）=2x+$\frac{2}{x}$與g（x）=x在[1，2]上是3相近的；
（3）函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$與g（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x+5}$在R上是$\sqrt{2}$相近的；
（4）若函數(shù)f（x）=log_t（x-3t）與g（x）=log_t（$\frac{1}{x-t}$），（t＞0，且t≠1）在[t+2，t+3]上是1相近的，則0＜t≤$\frac{9-\sqrt{57}}{12}$．
其中的真命題有（2）（3）（4）（寫出真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)接近的定義，分別求出|f（x）-g（x）|的最值即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）-g（x）=$\sqrt{3}$sinx-cosx=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
∵0＜x≤π，∴-$\frac{π}{6}$＜x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
則，∴sin（-$\frac{π}{6}$）＜sin（x-$\frac{π}{6}$）≤1，
即-$\frac{1}{2}$＜sin（x-$\frac{π}{6}$）≤1，
則-1＜2sin（x-$\frac{π}{6}$）≤2，
則|f（x）-g（x）|=|2sin（x-$\frac{π}{6}$）|≤2，故（1）錯(cuò)誤，
（2）f（x）-g（x）=2x+$\frac{2}{x}$-x=x+$\frac{2}{x}$，
∵y=x+$\frac{2}{x}$則[1，$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞減，則[$\sqrt{2}$，2]上遞增，
∴函數(shù)的最小值為$\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)x=1時(shí)，1+2=3，當(dāng)x=2時(shí)，2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
即2$\sqrt{2}$≤f（x）-g（x）≤3，
∴|f（x）-g（x）|≤3恒成立，故函數(shù)f（x）=2x+$\frac{2}{x}$與g（x）=x在[1，2]上是3相近的，故（2）正確．
（3）f（x）-g（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-$\sqrt{{x}^{2}-2x+5}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-$\sqrt{（x-1）^{2}+4}$，
設(shè)P（x，0），A（0，1），B（1，2），
則|f（x）-g（x）|=|$\sqrt{{x}^{2}+1}$-$\sqrt{（x-1）^{2}+4}$|的幾何意義為||PA|-|PB||，
則||PA|-|PB||≤|AB|=$\sqrt{1+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$與g（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x+5}$在R上是$\sqrt{2}$相近的；故（3）正確；
（4）f（x）與g（x）在給定區(qū)間[t+2，t+3]上是接近的，
則在給定區(qū)間[t+2，t+3]上都有意義，等價(jià)于：$\left\{\begin{array}{l}{t+2＞3t}\\{t＞0且t≠1}\end{array}\right.$，
解得0＜t＜1．且|f（x）-g（x）|≤1，
即|log_t（x-3t）-log_t（$\frac{1}{x-t}$）|≤1，
即|log_t（x-3t）（x-t）|≤1，
即t≤（x-2t）²-t²≤$\frac{1}{t}$，對(duì)于任意x∈[t+2，t+3]恒成立．
設(shè)h（x）=（x-2t）²-t²，x∈[t+2，t+3]，
且其對(duì)稱軸x=2t＜2在區(qū)間[t+2，t+3]的左邊，
?$\left\{\begin{array}{l}{t≤h（x）_{min}}\\{\frac{1}{t}≥h（x）_{max}}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{t≤h（t+2）}\\{\frac{1}{t}≥h（t+3）}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{t≤4-4t}\\{\frac{1}{t}≥9-6t}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{t≤\frac{4}{5}}\\{t≤\frac{9-\sqrt{57}}{12}或t≥\frac{9+\sqrt{57}}{12}}\end{array}\right.$，
解得0＜t≤$\frac{9-\sqrt{57}}{12}$，
所以，當(dāng)0＜t≤$\frac{9-\sqrt{57}}{12}$時(shí)，f（x）與g（x）在給定區(qū)間[t+2，t+3]上是接近的；故（4）正確，
故答案為：（2）（3）（4）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的最值求解，綜合性強(qiáng)，難度較大．