Question

8．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，n≥2時，a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1-$\frac{8}{{3}^{3-n}}$-$\frac{2}{3}$，若{a_n+3^n-1+t}是等比數(shù)列，則{a_n}的通項公式為a_n=-3^n-1-1+（$\frac{1}{3}$）^n-1．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列{a_n+3^n-1+t}是等比數(shù)列 待定系數(shù)法求出t，結(jié)合等比數(shù)列，

解答 解：a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1-$\frac{8}{{3}^{3-n}}$-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$a_n-1-8•3^n-3-$\frac{2}{3}$，
若{a_n+3^n-1+t}是等比數(shù)列，
∴設(shè)a_n+3^n-1+t=p（a_n-1+3^n-2+t），
即a_n+3^n-1+t=pa_n-1+p•3^n-2+tp，
即a_n=pa_n-1+p•3^n-2+tp-3^n-1-t=pa_n-1+（p-3）•3^n-2+（p-1）t，
∵a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1-8•3^n-3-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$a_n-1-$\frac{8}{3}$•3^n-3-$\frac{2}{3}$，
∴p=$\frac{1}{3}$，p-3=-$\frac{8}{3}$，（p-1）t=-$\frac{2}{3}$，
解得p=$\frac{1}{3}$，t=1，
即{a_n+3^n-1+1}是等比數(shù)列，公比q=$\frac{1}{3}$，首項為a₁+1+1=1+1+1=3，
則a_n+3^n-1+1=3•（$\frac{1}{3}$）ⁿ=（$\frac{1}{3}$）^n-1，
即a_n=-3^n-1-1+（$\frac{1}{3}$）^n-1，
故答案為：a_n=-3^n-1-1+（$\frac{1}{3}$）^n-1．

點評 本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．