Question

4．已知圓x²+y²=25，存在一點P（1，0），過點P作相互垂直的弦AB、CD，求：
（1）S_{四邊形ABCD}的最大值；
（2）AB+CD的最大值；
（3）$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PD}$，求|$\overrightarrow{PQ}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）先計算圓心O到兩條相互垂直的弦的距離，再利用基本不等式，即可求得四邊形OMPN面積的最大值
（2）利用（1）的結論和（$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$，（a=b取等號），即可求得AB+CD的最大值；
（3）由（1）的結論：，|PB|=$\frac{AB}{2}$-d₁，|PD|=$\frac{CD}{2}$-d₂，|AB|=2$\sqrt{25-{np64cxw_{1}}^{2}}$，|CD|=2$\sqrt{25-{b12ddj3_{2}}^{2}}$，d₁²+d₂²=OP²=1，運用勾股定理和柯西不等式，計算即可得到最小值．

解答 解：（1）∵圓O：x²+y²=25，
∴圓心O坐標（0，0），半徑r=5，
設圓心O到兩條相互垂直的弦AB，CD的距離分別為d₁、d₂，
∴d₁²+d₂²=OP²=1，
則四邊形ACBD的面積為S=$\frac{1}{2}$|AB|•|CD|=2$\sqrt{25-{txjggxy_{1}}^{2}}$•$\sqrt{25-{gi0rzgl_{2}}^{2}}$，
≤（25-d₁²）+（25-d₂²）=50-1=49，
當且僅當d₁=d₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，S取得最大值，且為49；
（2）由（1）可得d₁²+d₂²=OP²=1，
|AB|+|CD|=2（$\sqrt{25-{ipm4ylw_{1}}^{2}}$+$\sqrt{25-{nam4sae_{2}}^{2}}$），
由（$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$，（a=b取等號），
可得|AB|+|CD|≤2$\sqrt{2[（25-{zqthqor_{1}}^{2}）+（25-{26ro93w_{2}}^{2}）]}$=14$\sqrt{2}$，
當且僅當d₁=d₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，|AB|+|CD|取得最大值，且為14$\sqrt{2}$；
（3）由于$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{PB}$⊥$\overrightarrow{PD}$，
則有${\overrightarrow{PQ}}^{2}$=${\overrightarrow{PB}}^{2}$+${\overrightarrow{PD}}^{2}$+2$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PD}$=${\overrightarrow{PB}}^{2}$+${\overrightarrow{PD}}^{2}$，
由（1）可得，|PB|=$\frac{AB}{2}$-d₁，|PD|=$\frac{CD}{2}$-d₂，|AB|=2$\sqrt{25-{ol41lwh_{1}}^{2}}$，|CD|=2$\sqrt{25-{vrey6t8_{2}}^{2}}$，
d₁²+d₂²=OP²=1，
則有|PQ|²=$\frac{1}{4}$（|AB|²+|CD|²）+d₁²+d₂²-2d₁$\sqrt{25-{vl6pfy7_{1}}^{2}}$-2d₂$\sqrt{25-{fp4c8iz_{2}}^{2}}$
=50-2（d₁$\sqrt{25-{1gbbjn6_{1}}^{2}}$+d₂$\sqrt{25-{cmpa234_{2}}^{2}}$）≥50-2$\sqrt{（{7ciywsx_{1}}^{2}+{7w32zyp_{2}}^{2}）（25-{cy09uad_{1}}^{2}+25-{osvtgfk_{2}}^{2}）}$
=50-2$\sqrt{50-1}$=36．
即有d₁=d₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，|PQ|取得最小值，且為6．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，基本不等式和柯西不等式的運用，考查轉化思想與計算能力．