Question

20．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=1+at}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與曲線ρ²=$\frac{16}{1+3si{n}^{2}θ}$的相交弦中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），則a等于（　�。�

• A． -$\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求出直線l與曲線的普通方程，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程解出a．

解答 解：∵ρ²=$\frac{16}{1+3si{n}^{2}θ}$，
∴ρ²+3ρ²sin²θ=16，
∴x²+y²+3y²=16，即$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=1+at}\end{array}\right.$的普通方程為y=ax-a+1，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=ax-a+1}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
消元得（1+4a²）x${\;}^{{\;}^{2}}$-8a（a-1）x+4（a-1）²-16=0，
設(shè)直線l與曲線的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=$\frac{8a（a-1）}{1+4{a}^{2}}$=2，解得a=-$\frac{1}{4}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與普通方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，屬于中檔題．