Question

10．已知函數(shù)f（x）=4cosωx•sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）討論f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)性；
（3）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，關(guān)于x的方程f（x）=a 恰有兩個不同的解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由兩角和的正弦公式及輔助角公式化簡f（x），根據(jù)周期公式即可求得ω的值；
（2）由（1）求得f（x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)即可判斷函數(shù)區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)性；
（3）由題意可知y=a與函數(shù)在[0，$\frac{π}{2}$]上，與f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$由兩個交點，根據(jù)函數(shù)圖象即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=4cosωx•sin（ωx+$\frac{π}{4}$）
=2$\sqrt{2}$sinωx•cosωx+2$\sqrt{2}$cos²ωx，
=$\sqrt{2}$（sin 2ωx+cos 2ωx）+$\sqrt{2}$，
=2sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$，
因為f（x）的最小正周期為π，且ω＞0，從而有$\frac{2π}{2ω}$=π，
故ω=1．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$．若0≤x≤$\frac{π}{2}$，則$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$．
當$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$，即0≤x≤$\frac{π}{8}$時，f（x）單調(diào)遞增；
當$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，即$\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{π}{2}$時，f（x）單調(diào)遞減．
綜上可知，f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{8}$]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞減；
（3）x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，關(guān)于x的方程f（x）=a 恰有兩個不同的解，
即y=a與函數(shù)在[0，$\frac{π}{2}$]上，與f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$由兩個交點，

由函數(shù)圖象可知：a∈[2$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$），
實數(shù)a的取值范圍[2$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查三角恒等變換，兩角和差的正弦公式及輔助角公式，正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．