Question

9．已知四邊形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB（如圖1）．現(xiàn)將△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如圖2），連結(jié)AC，AB．

（I）若M為棱AB的中點，求四面體EMCB的體積；
（II）若M為棱AB上的動點，確定M的位置，使直線AD平行于平面EMC，并證明．

Answer 1

分析 （I）證明AE⊥平面BCDE，求出V_A-BCE，則V_E-MCB=V_M-BCE=$\frac{1}{2}$V_A-BCE；
（II））連結(jié)BD交CE于O，連結(jié)OM，由線面平行的性質(zhì)得出AD∥OM，故而$\frac{BM}{AM}=\frac{OB}{OD}$，利用△OCD∽△OEB得出$\frac{OB}{OD}=\frac{BE}{CD}=2$．

解答 解：（I）由等腰梯形知識可得AE=DE=1，
BE=2．
∵DE⊥AE，AE⊥BE，BE?平面BCDE，
DE?平面BCDE，DE∩BE=E，
∴AE⊥平面BCDE，
∴V_A-BCE=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•AE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1$=$\frac{1}{3}$，
又M為AB的中點，
∴V_E-MCB=V_M-BCE=$\frac{1}{2}$V_A-BCE=$\frac{1}{6}$．
（II）連結(jié)BD交CE于O，連結(jié)OM，
∵AD∥平面MCE，AD?平面ABD，平面ABD∩平面MCE=OM，
∴OM∥AD，
∴$\frac{BM}{AM}=\frac{OB}{OD}$，
∵△OCD∽△OEB，∴$\frac{OB}{OD}=\frac{BE}{CD}=2$，
∴$\frac{BM}{AM}=2$，
即當M為AB靠近A點的三等分點時，AD∥平面MCE．

點評 本題考查了線面垂直的判定，線面平行的性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．