Question

4．已知函數(shù)f（x）=|2x-3|，若0＜2a≤b+1，且f（2a）=f（b+3），則M=3a²+2b+1的取值范圍為$\frac{3}{16}$≤M＜1．

Answer 1

分析 由題意可得|4a-3|=|2b+3|，故4a-3和2b+3互為相反數(shù)，解得b=-2a，代入要求的式子可得 M=3a²+2b+1=3a²-4a+1（0＜a≤$\frac{1}{4}$），結合二次函數(shù)的圖象和性質，可得M=3a²+2b+1的取值范圍

解答 解：∵f（x）=|2x-3|，f（2a）=f（b+3），也就是|4a-3|=|2b+3|．
因為 0＜2a＜b+1，所以4a＜2b+2，4a-3＜2b+3，所以必須有4a-3和2b+3互為相反數(shù)．
∴4a-3+2b+3=0，故 b=-2a．
再由0＜2a≤b+1可得 0＜2a≤-2a+1，即 0＜a≤$\frac{1}{4}$．
∴M=3a²+2b+1=3a²-4a+1的圖象是開口朝上，且以直線a=$\frac{2}{3}$為對稱軸的拋物線，
此函數(shù)在（0，$\frac{1}{4}$]上是減函數(shù)，
所以M（$\frac{1}{4}$）≤T＜T（0），
即$\frac{3}{16}$≤M＜1，
故答案為：$\frac{3}{16}$≤M＜1．

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，利用二次函數(shù)的單調性求它在某區(qū)間上的值域，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．