Question

 如圖，已知底面圓半徑為4的圓錐SO中，S為頂點，O為底面圓心，SB、SC是母線，∠BOC=120°，作OA⊥SC于A點，若將△SAO繞軸旋轉一周所得幾何體的體積是圓錐SO體積的

1

4

．
（Ⅰ）求圓錐SO的體積；
（Ⅱ）在△SAO繞軸SO旋轉一周過程中（此時C點不動），求二面角A-OB-C余弦值的取值范圍．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：

分析：（Ⅰ）先求出由A點旋轉形成的截面圓的半徑，可得A為SC的中點，從而可求圓錐SO的體積；
（Ⅱ）分類討論，當A∈平面SOB時，二面角A-OB-C余弦值為0；當A∉平面SOB時，作出二面角A-OB-C的平面角，再求二面角A-OB-C余弦值的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）記由A點旋轉形成的截面圓為圓O₁，則
∵將△SAO繞軸旋轉一周所得幾何體的體積是圓錐SO體積的

1

4

，
∴

O1A2

OC2

=

1

4

，
∵OC=4，
∴O₁A=2，即A為SC的中點，
∴圓錐SO的體積

1

3

•π•43=

64

3

π；
（Ⅱ）在△SAO繞軸SO旋轉一周過程中，當A∈平面SOB時，平面ABO⊥平面BOC，此時二面角A-OB-C余弦值為0；
當A∉平面SOB時，作AH∥SO，∴AH⊥圓O，作HM⊥BO交BO延長線于M，連接AM，則AH⊥OM，
∵HM∩AH=H，∴BO⊥平面AHM，∴BO⊥AM，
記二面角A-OB-C的大小為θ，則θ=∠AMH或π-∠AMH．
在Rt△AHM中，AH=

1

2

SO=2，H到線段BO的距離d∈（0，2]，
∴|cosθ|=cos∠AMH=

d

4+d2

=

1 4 d2 +1

∈（0，

2

2

]，
綜上所述，二面角A-OB-C余弦值的取值范圍為[-

2

2

，

2

2

]．

點評：本題考查圓錐的體積，考查二面角A-OB-C余弦值的取值范圍，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．