Question

如圖，E，P，B，C為圓O上的四點(diǎn)，直線PB，PC，BC分別交直線EO于M，N三點(diǎn)，且PM=PN．
（Ⅰ）求證：∠POA+∠BAO=90°；
（Ⅱ）若BC∥PE，求

PE

PO

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定,平行線分線段成比例定理

專題：立體幾何

分析：（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)P作圓O的切線交直線EO于F點(diǎn)，由弦切角性質(zhì)可知∠NPF=∠PBA，結(jié)合PM=PN，可得∠PFN=∠BAO，進(jìn)而根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠POA+∠PFN=90°，等量代換后，得到答案．
（Ⅱ）若BC∥PE，則∠PEO=∠BAO，又∠POA=2∠PEO，可得∠POA=2∠BAO，結(jié)合（I）中結(jié)論可求出∠BAO=30°，解三角形可得答案．

解答： 證明：（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)P作圓O的切線交直線EO于F點(diǎn)，由弦切角性質(zhì)可知∠NPF=∠PBA，
∵PM=PN，
∴∠PNO=∠PMA，
則∠PNO-∠NPF=∠PMA-∠PBA，
即∠PFN=∠BAO．

又PF為圓O的切線，故∠POA+∠PFN=90°，
故∠POA+∠BAO=90°．…（5分）
解：（Ⅱ）若BC∥PE，則∠PEO=∠BAO，又∠POA=2∠PEO，
故∠POA=2∠BAO，
由（Ⅰ）可知90°=∠POA+∠BAO=3∠BAO，故∠BAO=30°，
則∠PEO=∠BAO=30°，cos∠PEO=

PE 2

EO

，即

3

2

=

PE

2EO

，
故

PE

PO

=

PE

EO

=

3

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是弦切角定理，切線的性質(zhì)，圓心角定理，是平面幾何證明的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用，難度中檔．