Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足S_n=2n-a_n+1（n∈N^*）
（1）計算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通項公式a_n；
（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知等式確定出a₁，a₂，a₃，a₄，歸納總結猜想出通項公式a_n即可；
（2）當n=1時，結論成立，假設n=k時，結論成立，推理得到n=k+1時，結論成立，即可得證．

解答 解：（1）根據(jù)數(shù)列{a_n}滿足S_n=2n-a_n+1（n∈N^*），
當n=1時，S₁=a₁=2-a₁+1，即a₁=$\frac{3}{2}$；
當n=1時，S₂=a₁+a₂=4-a₂+1，即a₂=$\frac{7}{4}$；
同理a₃=$\frac{15}{8}$，a₄=$\frac{31}{16}$，
由此猜想a_n=$\frac{{2}^{n+1}-1}{{2}^{n}}$（n∈N^*）；
（2）當n=1時，a₁=$\frac{3}{2}$，結論成立；
假設n=k（k為大于等于1的正整數(shù)）時，結論成立，即a_k=$\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{k}}$，
那么當n=k+1（k大于等于1的正整數(shù)）時，a_k+1=S_k+1-S_k=2（k+1）-a_k+1-2k+a_k=2+a_k-a_k+1，
∴2a_k+1=2+a_k，
∴a_k+1=$\frac{2+{a}_{k}}{2}$=$\frac{2+\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{k}}}{2}$=$\frac{{2}^{k+2}-1}{{2}^{k+1}}$，即n=k+1時，結論成立，
則a_n=$\frac{{2}^{n+1}-1}{{2}^{n}}$（n∈N^*）．

點評 此題考查了數(shù)學歸納法，以及歸納推理，熟練掌握數(shù)學歸納法證明的步驟是解本題的關鍵．