【題目】已知拋物線的焦點到其準線的距離為.

(1)求拋物線的方程;

(2)設直線與拋物線相交于兩點,問拋物線上是否存在點,使得是正三角形?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1) (2)存在,點的坐標為

【解析】

(1)因為拋物線,物線的焦點為,準線為,由,即可求得答案;

(2)設,,則由消掉得:,解得,假設拋物線上存在滿足條件的點,結合已知,即可得出答案.

(1)拋物線

拋物線的焦點為,準線為,

,

拋物線的方程為.

(2)設,,

則由消掉得:

,

根據(jù)韋達定理可得:,.

由兩點間距離公式可得:

,

.

假設拋物線上存在滿足條件的點,

的中點,

,

.

是正三角形,

,且.

和直線

可得的方程為:.

由點上,

.

及點到直線的距離,得

由聯(lián)立①②解得

檢驗點不在拋物線上,

存在滿足條件的點的坐標為.

另法參考:亦可由

經(jīng)驗證,點不符合條件.

存在滿足條件的點的坐標為.

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合格

優(yōu)秀

合計

男生

16

女生

4

合計

40

附:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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