Question

10．為了研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門對(duì)100名家用轎車駕駛員進(jìn)行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時(shí)的平均車速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過(guò)100km/h的有40人，不超過(guò)100km/h的有15人．在45名女性駕駛員中，平均車速超過(guò)100km/h的有20人，不超過(guò)100km/h的有25人．
（Ⅰ）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為平均車速超過(guò)100km/h的人與性別有關(guān)．

	平均車速超過(guò) 100km/h人數(shù)	平均車速不超過(guò) 100km/h人數(shù)	合計(jì)
男性駕駛員人數(shù)	40	15	55
女性駕駛員人數(shù)	20	25	45
合計(jì)	60	40	100

（Ⅱ）以上述數(shù)據(jù)樣本來(lái)估計(jì)總體，現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機(jī)抽取3輛，記這3輛車中駕駛員為男性且車速超過(guò)100km/h的車輛數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式與數(shù)據(jù)：Χ²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d

P（Χ2≥k0）	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為平均車速超過(guò)100km/h的人與性別有關(guān)．求出Χ²，即可判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為平均車速超過(guò)100km/h的人與性別有關(guān)．
（Ⅱ）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機(jī)抽取1輛，駕駛員為男性且車速超過(guò)100km/h的車輛的概率，X可取值是0，1，2，3，$X～B（3，\frac{2}{5}）$，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．

解答 解：
（Ⅰ）

	平均車速超過(guò)100km/h人數(shù)	平均車速不超過(guò)100km/h人數(shù)	合計(jì)
男性駕駛員人數(shù)	40	15	55
女性駕駛員人數(shù)	20	25	45
合計(jì)	60	40	100

因?yàn)?{Χ^2}=\frac{{100×{{（40×25-15×20）}^2}}}{60×40×55×45}≈8.249＞7.879$，所以有99.5%的把握認(rèn)為平均車速超過(guò)100km/h與性別有關(guān)．…（6分）
（Ⅱ）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機(jī)抽取1輛，駕駛員為男性且車速超過(guò)100km/h的車輛的概率為$\frac{40}{100}=\frac{2}{5}$．X可取值是0，1，2，3，$X～B（3，\frac{2}{5}）$，有：$P（X=0）=C_3^0{（\frac{2}{5}）^0}{（\frac{3}{5}）^3}=\frac{27}{125}$，$P（X=1）=C_3^1{（\frac{2}{5}）^1}{（\frac{3}{5}）^2}=\frac{54}{125}$，$P（X=2）=C_3^2{（\frac{2}{5}）^2}{（\frac{3}{5}）^1}=\frac{36}{125}$，$P（X=3）=C_3^3{（\frac{2}{5}）^3}{（\frac{3}{3}）^0}=\frac{8}{125}$，
分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

$E（X）=0×\frac{27}{125}+1×\frac{54}{125}+2×\frac{36}{125}+3×\frac{8}{125}=\frac{6}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散性隨機(jī)變量的分布列，期望的求法，獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．