Question

2．小明和爸爸媽媽、爺爺奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現(xiàn)場錄制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人與小明相鄰，則不同的坐法總數(shù)為84．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分3種情況討論：①、小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母不相鄰，②、小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母相鄰，③、小明的父母都與小明相鄰，分別求出每一種情況下的排法數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，分3種情況討論：
①、若小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母不相鄰時(shí)，
先在其父母中選一人與小明相鄰，有C₂¹=2種情況，
將小明與選出的家長看成一個(gè)整體，考慮其順序有A₂²=2種情況，
當(dāng)父母不相鄰時(shí)，需要將爺爺奶奶進(jìn)行全排列，將整體與另一個(gè)家長安排在空位中，有A₂²×A₃²=12種安排方法，
此時(shí)有2×2×12=48種不同坐法；
②、若小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母相鄰時(shí)，
將父母及小明看成一個(gè)整體，
小明在一端，有2種情況，考慮父母之間的順序，有2種情況，則這個(gè)整體內(nèi)部有2×2=4種情況，
將這個(gè)整體與爺爺奶奶進(jìn)行全排列，有A₃³=6種情況，
此時(shí)有2×2×6=24種不同坐法；
③、小明的父母都與小明相鄰，即小明在中間，父母在兩邊，
將3人看成一個(gè)整體，考慮父母的順序，有A₂²=2種情況，
將這個(gè)整體與爺爺奶奶進(jìn)行全排列，有A₃³=6種情況，
此時(shí)，共有2×6=12種不同坐法；
則一共有48+24+12=84種不同坐法；
故答案為：84．

點(diǎn)評 本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意“小明的父母至少有一人與小明相鄰”的條件，由此分析其可能的情況．