Question

2．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且tanA+tanB=$\frac{2sinC}{cosA}$．
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）若$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$=3，求sinAsinC的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式左邊利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，整理后根據(jù)sinC不為0求出cosB的值，即可確定出B的度數(shù)；
（Ⅱ）已知等式去分母整理后得到關(guān)系式，利用余弦定理列出關(guān)系式，把得出關(guān)系式及cosB的值代入，并利用正弦定理化簡，即可求出siniAsinC的值．

解答 解：（Ⅰ）已知等式變形得：$\frac{sinA}{cosA}$+$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{2sinC}{cosA}$，
去分母得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB，即sin（A+B）=2sinCcosB=sinC，
∵sinC≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
則B=60°；
（Ⅱ）由$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$=3，整理得：a²+c²=3ac，
∵cosB=$\frac{1}{2}$，a²+c²=3ac，
∴b²=a²+c²-2accosB=2ac，
由正弦定理得：sin²B=2sinAsinC=$\frac{3}{4}$，
則sinAsinC=$\frac{3}{8}$．

點評 此題考查了同角三角函數(shù)間基本關(guān)系的運用，正弦、余弦定理，熟練掌握定理及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．