Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax+4在x=-2時取得極值．
（Ⅰ）求a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（-2）=0，求出a的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x²-a，
若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax+4在x=-2時取得極值，
則f′（-2）=4-a=0，解得：a=4，
a=4時，f′（x）=（x+2）（x-2），
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，-2）遞增，在（-2，2）遞減，在（2，+∞）遞增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4，
f（x）在[0，2）遞減，在（2，3]遞增，
∴f（x）在最小值是f（2）=-$\frac{4}{3}$，f（x）的最大值是f（3）=1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．