Question

15．如圖，某森林公園有一直角梯形區(qū)域ABCD，其四條邊均為道路，AD∥BC，∠ADC=90°，AB=5千米，BC=8千米，CD=3千米，現(xiàn)甲、乙兩管理員同時(shí)從A地出發(fā)勻速前往D地，甲的路線是AD，速度為6千米/小時(shí)，乙的路線是ABCD，速度為v千米/小時(shí)．
（1）若甲、乙兩管理員到達(dá)D的時(shí)間相差不超過15分鐘．求乙的速度v的取值范圍；
（2）已知對(duì)講機(jī)有效通話的最大距離是5千米，若乙先到達(dá)D，且乙從A到D的過程中始終能用對(duì)講機(jī)與甲保持有效通話．求乙的速度v的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出AD=12千米，利用甲、乙兩管理員到達(dá)D的時(shí)間相差不超過15分鐘，建立不等式，即可求得速度v的取值范圍；
（2）由于先乙到達(dá)D地，故$\frac{16}{v}$＜2，即v＞8，經(jīng)過t小時(shí)，甲、乙之間的距離的平方為f（t）．分類討論求出f（t），確定最大值，即可求乙的速度v的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，可得AD=12千米．                
由題可知|$\frac{12}{6}$-$\frac{16}{v}$|≤$\frac{1}{4}$，解得$\frac{64}{9}$≤v≤$\frac{64}{7}$．   
（2）經(jīng)過t小時(shí)，甲、乙之間的距離的平方為f（t）．
由于先乙到達(dá)D地，故$\frac{16}{v}$＜2，即v＞8．        
①當(dāng)0＜vt≤5，即0＜t≤$\frac{5}{v}$時(shí)，
f（t）=（6t）²+（vt）²-2×6t×vt×cos∠DAB=（v²-$\frac{48}{5}$v+36）t²．
因?yàn)関²-$\frac{48}{5}$v+36＞0，所以當(dāng)t=$\frac{5}{v}$時(shí)，f（t）取最大值，
所以（v²-$\frac{48}{5}$v+36）×（$\frac{5}{v}$）²≤25，解得v≥$\frac{15}{4}$．          
②當(dāng)5＜vt≤13，即$\frac{5}{v}$＜t≤$\frac{13}{v}$時(shí)，
f（t）=（vt-1-6t）²+9=（v-6）² （t-$\frac{1}{v-6}$）²+9．
因?yàn)関＞8，所以$\frac{1}{v-6}$＜$\frac{5}{v}$，（v-6）²＞0，所以當(dāng)t=$\frac{13}{v}$時(shí)，f（t）取最大值，
所以（v-6）² （$\frac{13}{v}$-$\frac{1}{v-6}$））²+9≤25，解得$\frac{39}{8}$≤v≤$\frac{39}{4}$．     
③當(dāng)13≤vt≤16，$\frac{13}{v}$≤t≤$\frac{16}{v}$時(shí)，
f（t）=（12-6t）²+（16-vt）²，
因?yàn)?2-6t＞0，16-vt＞0，所以當(dāng)f（t）在（$\frac{13}{v}$，$\frac{16}{v}$）遞減，所以當(dāng)t=$\frac{13}{v}$時(shí)，f（t）取最大值，
（12-6×$\frac{13}{v}$）²+（16-v×$\frac{13}{v}$）²≤25，解得$\frac{39}{8}$≤v≤$\frac{39}{4}$．    
因?yàn)関＞8，所以8＜v≤$\frac{39}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度中等．