Question

19．已知圓C：x²+y²-2x+6y+8=0
（Ⅰ）若圓C的不過原點的切線在兩坐標軸上的截距相等，求切線方程
（Ⅱ）從圓C外一點P（x，y）引圓的切線PQ，點Q為切點，O為坐標原點，且滿足|PQ|=|OP|，當|PQ|最小時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可設(shè)所求直線方程為：x+y=a，且a≠0，由相切可得方程，解出即可；
（Ⅱ）由兩點間距離公式及切線長公式，可把|PQ|=|OP|，化為（x-1）²+（y+3）²-2=x²+y²，整理得：x-3y-4=0，從而$|{PQ}|=\sqrt{{x^2}+{y^2}}=\sqrt{10{y^2}+24y+16}$，借助二次函數(shù)的性質(zhì)可求．

解答 解：（I）圓心C（1，-3），半徑$r=\sqrt{2}$-----（1分）
由題意可設(shè)所求直線方程為：x+y=a，且a≠0，
$d=\frac{{|{x+y-a}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{1-3-a}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$-----（4分）
解得a=-4或a=0舍．所求直線方程為：x+y+4=0-----（6分）
（II）由$|{OP}|=|{PQ}|=\sqrt{P{C^2}-{r^2}}$，從而有（x-1）²+（y+3）²-2=x²+y²，整理得：x-3y-4=0-----（8分）
則$|{PQ}|=\sqrt{{x^2}+{y^2}}=\sqrt{10{y^2}+24y+16}$-----（9分）
當$y=-\frac{6}{5}$時，|PQ|最小，此時點P的坐標為$（{\frac{2}{5}，-\frac{6}{5}}）$-----（12分）

點評 該題考查圓的方程、性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查與圓有關(guān)的最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想．