Question

7．設(shè)a為實(shí)數(shù)，給出命題p：關(guān)于x的不等式（$\frac{1}{2}$）^|x-1|≥a的解集為Ф，命題q：函數(shù)f（x）=$\sqrt{a{x}^{2}+ax+2}$的定義域?yàn)镽，若命題“p∨q”為真，“p∧q為假”，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，以及一元二次不等式解的情況和判別式△的關(guān)系求出命題p，q下的a的取值范圍，再根據(jù)p∨q為真，p∧q為假得到p，q一真一假，所以分別求出p真q假，p假q真時(shí)的a的取值范圍并求并集即可．

解答 解：若p正確，則由$0＜{（\frac{1}{2}）^{|x-1|}}≤1$，得a＞1．…（3分）
若q正確，則ax²+ax+2≥0的解集為R．
當(dāng)a=0時(shí)，2＞0滿足題意；  …（5分）
當(dāng)a≠0時(shí)，則$\left\{{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{a^2}-8a≤0}\end{array}}\right.$，解得0＜a≤8，
所以，若q正確，0≤a≤8…（8分）
由題意知，p和q中有且僅有一個(gè)正確，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＜0或a＞8}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{a≤1}\\{0≤a≤8}\end{array}}\right.$，…（10分）
所以a＞8或0≤a≤1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，空集的概念，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，一元二次不等式的解的情況和判別式△的關(guān)系，以及p∨q，p∧q的真假和p，q真假的關(guān)系．