Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為為AB和PD中點(diǎn)．
（1）求證：直線AF∥平面PEC；
（2）求三棱錐P-BEF的表面積．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位線的性質(zhì)證明線線平行，從而得到線面平行；
（2）由線面垂直的判斷和性質(zhì)得到三棱錐四個側(cè)面三角形的高，求出各側(cè)面的面積求和得答案．

解答 （1）證明：如圖，

分別取PC，DC的中點(diǎn)G，H，連接FG，GH，EH，
則FG∥DH，F(xiàn)G=DH，DH∥AE，DH=AE，
∴FG∥AE，F(xiàn)G=AE，則四邊形AEGF為平行四邊形，則AF∥EG，
EG?平面PEC，AF?平面PEC，∴直線AF∥平面PEC；
（2）解：三棱錐P-BEF的表面積等于S_△BEF+S_△PBE+S_△PFE+S_△PBF．
∵底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴△ABD為正三角形，
又AD=1，∴BD=1，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又PD⊥平面ABCD，DE⊥AB，∴PE⊥AB，EF⊥AB，
∵PD=1，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，DF=$\frac{1}{2}$，
∴$EF=\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}=1$，$PE=\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴${S}_{△BEF}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{4}$，${S}_{△BEP}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{7}}{2}=\frac{\sqrt{7}}{8}$，
${S}_{△PFE}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}$，${S}_{△PFB}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{4}$，
∴三棱錐P-BEF的表面積等于$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{8}$．

點(diǎn)評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．