Question

12．已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（1）求f（x）的最小正周期和f（$\frac{π}{8}$）的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1））由條件利用正弦函數(shù)的周期性求得f（x）的最小正周期，利用兩角和的正弦公式求得f（$\frac{π}{8}$）=2sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$）的值．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，
f（$\frac{π}{8}$）=2sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$）=2sin$\frac{π}{4}$cos$\frac{π}{6}$+2cos$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{6}$=2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴當2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$時，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最小值為-1；
∴當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最大值為2．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性，兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．