分析 由已知得an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3,…),從而nSn+1=2(n+1)Sn,進(jìn)而得到數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.由此求出${S}_{n}=n•{2}^{n-1}$,從而能求出an.
解答 解:∵a1=1,an+1=$\frac{n+2}{n}$Sn(n=1,2,3,),
∴a2=$\frac{2+1}{1}$S1=3a1,∴$\frac{{S}_{2}}{2}$=$\frac{4{a}_{1}}{2}$=2,$\frac{{S}_{1}}{1}$=1,
∴$\frac{\frac{{S}_{2}}{2}}{\frac{{S}_{1}}{1}}$=2
又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3,…),
則Sn+1-Sn=$\frac{n+2}{n}$Sn(n=1,2,3,),
∴nSn+1=2(n+1)Sn,∴$\frac{\frac{{S}_{n+1}}{n+1}}{\frac{{S}_{n}}{n}}$=2(n=1,2,3,…),
故數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.
∴$\frac{{S}_{n}}{n}={2}^{n-1}$,∴${S}_{n}=n•{2}^{n-1}$,
∴${a}_{1}=1×{2}^{1-1}$=1,
an=Sn-Sn-1=n•2n-1-(n-1)•2n-2=(n+1)•2n-2.
n=1時(shí),上式成立,
∴an=(n+1)•2n-2.
故答案為:(n+1)•2n-2.
點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意構(gòu)造法及等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.
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A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{1}{6}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{1}{8}$ |
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A. | 56 | B. | 64 | C. | 80 | D. | 128 |
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