Question

15．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1，a_n+1=$\frac{n+2}{n}$S_n（n=1，2，3，…），則a_n=（n+1）•2^n-2．

Answer 1

分析 由已知得a_n+1=S_n+1-S_n（n=1，2，3，…），從而nS_n+1=2（n+1）S_n，進(jìn)而得到數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．由此求出${S}_{n}=n•{2}^{n-1}$，從而能求出a_n．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=$\frac{n+2}{n}$S_n（n=1，2，3，），
∴a₂=$\frac{2+1}{1}$S₁=3a₁，∴$\frac{{S}_{2}}{2}$=$\frac{4{a}_{1}}{2}$=2，$\frac{{S}_{1}}{1}$=1，
∴$\frac{\frac{{S}_{2}}{2}}{\frac{{S}_{1}}{1}}$=2
又a_n+1=S_n+1-S_n（n=1，2，3，…），
則S_n+1-S_n=$\frac{n+2}{n}$S_n（n=1，2，3，），
∴nS_n+1=2（n+1）S_n，∴$\frac{\frac{{S}_{n+1}}{n+1}}{\frac{{S}_{n}}{n}}$=2（n=1，2，3，…），
故數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}={2}^{n-1}$，∴${S}_{n}=n•{2}^{n-1}$，
∴${a}_{1}=1×{2}^{1-1}$=1，
a_n=S_n-S_n-1=n•2^n-1-（n-1）•2^n-2=（n+1）•2^n-2．
n=1時(shí)，上式成立，
∴a_n=（n+1）•2^n-2．
故答案為：（n+1）•2^n-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法及等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．